Vi skal bruge en tom konservesdåse, noget snor og et pund salt. Det lyder som optakten til et Olsen Banden-kup, men det er materialerne, der skal bruges til at skabe kunstværker i matematikundervisningen. Du kan hente opgave og vejledning nederst på siden.
Der er en video, der er blevet delt godt og grundigt på diverse sociale medier og i forskellige matematikgrupper på Facebook i den seneste tid. En kunstner borer et hul i en ophængt spand maling, slipper den ud over et underlag og et smukt kunstværk træder frem.
Pendulkunst i matematik
Hvorfor ikke lade sig inspirere og lave noget lignende i matematik? – enten som en særlig fagdag eller som en del af et forløb.
Helt tilfældigt fandt jeg, få dage efter jeg havde set videoen, nogle gamle noter omkring pendulkunst. Jeg ved ikke, hvor jeg har dem fra, eller hvem jeg skal kreditere, men nu får de nyt liv i forbindelse med YouTube-videoen.
Der er flere tilgange til arbejdet. På mellemtrinnet kan eleverne skabe kunstværker og blive fascineret over de mønstre, der fremkommer. Enten kan eleverne prøve sig frem, eller også kan læreren have forberedt pendullængder, der sikrer ‘pæne’ kunstværker. I udskolingen kan kunstværkerne skabes og beskrives ved hjælp af formler.
Setup'et
Men først det praktiske. Du skal bruge følgende materialer:
- Konservesdåse
- Snor
- Salt, sukker, sand eller lignende
- Tommestok eller målebånd
- Krokodillenæb eller klemmer
- Et mørkt underlag
- Hammer og søm (eller andet til at lave huller i dåsen)
- Maling - hvis du går linen ud
Lav et hul på cirka 3 mm i centrum af bunden af dåsen. Lav også to huller modsat hinanden tæt ved dåsens øverste rand, så snorene kan bindes i dåsen.
Hæng dåsen op som på illustrationen herunder. Efter sigende – jeg har ikke selv gennemført aktiviteten (endnu) – fungerer det bedst, når dåsen hænger cirka 5 cm over gulvet og afstanden mellem gulvet og de to ophængningspunkter er mindst 2 meter – mindre skulle dog også kunne gøre det.
Opstillingen består af to penduler – et kort, k, og et langt, L. Knuden M skal strammes så meget, at den ikke ‘glider’ på snoren. Brug eventuelt krokodillenæb til at fastholde knuden.
Fyld dåsen med fx fint salt, mens der holdes en finger for hullet. Træk dåsen skråt ud til siden, slip den og læn dig tilbage og nyd magien.
Lissajousfigurer
Figurerne, der skabes, kaldes Lissajousfigurer – opkaldt efter den franske fysiker Jules Antoine Lissajous, der levede i 1800-tallet. De anvendes i arbejdet med elektronik og svingninger i fysikken. Men det skal ikke afholde os fra at inddrage dem i matematikundervisningen – vi kunne jo udnytte muligheden for at invitere fysiklæreren ind til et samarbejde.
De Lissajousfigurer, hvor dåsen vender tilbage til startpunktet efter nogle få svingninger, bliver ‘pæne’ og harmoniske. Og det kan man regne sig frem til.
Matematikken bag
Det handler om svingninger.
Længden af det korte pendul kaldes k, og svingningstiden (frem og tilbage) kaldes Tk. Længden af det lange pendul kaldes L, og svingningstiden kaldes TL.
Et penduls svingningstid afhænger af pendulets længde. Derfor gælder
Tk < TL
For at gøre en længere historie kort (du kan se den længere historie i lærervejledningen), så ender vi med ligningen
a·√k = b·√L, hvor a > b
Når a og b er ‘pæne’ tal, så er det, at vi får ‘pæne’ Lissajousfigurer.
Et eksempel
Længden af det lange pendul, L, måles til 2,1 m, og der vælges følgende ‘pæne’ værdier for a og b, a = 2 og b = 1.
Værdierne indsættes i formlen og løses fx via et CAS-værktøj. Jeg har brugt CalcMe.
Jeg har også lavet et regneark, hvor du hurtigt kan beregne k. Det kunne være en oplagt aktivitet, at eleverne i udskolingen selv bygger sådan et regneark. Du finder et link til regnearket nederst på denne side.
I ovenstående eksempel betyder det, at vi får en pæn og harmonisk Lissajousfigur, hvis afstanden fra knuden, M, til midt i dåsen (midt i salten) er 52,5 cm.
Det er vigtigt at være præcis, når der måles, da små unøjagtigheder kan få stor betydning for resultatet.
Elever på mellemtrinnet kan fx få udleveret længderne på k og L og derefter selv lave opstillingen – hvor hver gruppe får forskellige værdier. Udskolingselever kan selv gå i gang med at undersøge a og b‘s betydning for k‘s længde. Hvad nu hvis a = 3 og b = 2? Hvordan vil figurerne så se ud?
Når elevernes opstilling efter nogle afprøvninger sidder i skabet, er det væk med den brugte konservesdåse og salten og frem med den rigtige maling. Så får skolen en række flotte nye kunstværker til væggene.
Hvis du gennemfører aktiviteten, må du meget gerne dele dine erfaringer og billeder med mig.
God fornøjelse med arbejdet.